В подобных сочетаниях с отвлеченными существительными употребляется родительный падеж. Верно: спросить разрешения. Ср. вариант с конкретным существительным: попросить чашку.
Указанная запятая не нужна, так как нет повторяющегося союза.
Оба варианта корректны.
Современной норме соответствуют написания: Гузалечка, Гузаленька.
Верно: в лице директора, действующего.
Если это предложение целиком, то запятая нужна.
Корректно написание без кавычек.
Пунктуация верна.
Возможны оба варианта. При оборотах, образованных сочетанием «именительный падеж плюс творительный падеж с предлогом с», сказуемое может стоять как в форме множественного, так и в форме единственного числа. Форма множественного числа показывает, что в роли подлежащего выступает всё сочетание, т. е. действие приписывается взаимосвязанным равноправным субъектам. Форма единственного числа показывает, что подлежащим является только существительное в именительном падеже, а существительное в творительном падеже выступает в роли дополнения, обозначая лицо, сопутствующее производителю действия.
Итак, в зависимости от смысла: Ю. И. Хардиков с внучкой Аней знакомятся с новой экспозицией – если речь идет обо всех участниках действия. Ю. И. Хардиков с внучкой Аней знакомится с новой экспозицией – если речь идет в первую очередь о Хардикове.
В сочетании с родовым словом район название Черемушки не склоняется. Верно: в районе Черемушки, из района Черемушки.
