Ударение остается на корне: твиты.
Ударение остается на корне: тангаж – тангажу.
Ударение остается на корне: стыки, стыков.
Ударение остается на корне: по плоду.
Ударение остается на корне, правильно: болей.
Ударение остается на корне: ро́ды.
Гласная И в корне проверяется по словарю.
Ударение остается на корне: до ко́сти.
Верно и то, и другое, это разные подходы к морфемному разбору. При разборе слова по составу необходимо различать синхронный (т. е. современный) состав и исторический (этимологический) состав. Исторически в словах ненавидеть, негодовать, небрежный не – приставка (когда-то в языке были слова навидеть, годовать и т. д.). Однако сейчас, в современном русском языке приставка в этих словах уже не выделяется (ведь слитное написание этих слов как раз и обусловлено тем, что без не они не употребляются), не считается частью корня.