Нет, некорректно.
Термин внучатые организации не употребляется. Выражение может быть использовано как авторское (окказиональное) в соответствующем (возможно, ироническом) контексте.
Возможно: +5 градусов Цельсия, +15 °C.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Если это сочетание употребляется вне прямой связи с религией (т. е. не является обращением к Богу, а употребляется в значении 'хорошо; к счастью'), правильно написание строчными: слава богу.
Нет, наречное выражение во что бы то ни стало не выделяется знаками препинания.
Так можно сказать в непринужденной разговорной речи; можно поправить: закончились засушливые дни.
Я буду убеждаться.
Верно: ничтоже сумняшеся или сумняся. Это выражение означает "ничуть не сомневаясь" или (иронически) "не подумав, не размышляя предварительно".
