Наименование «Госключ» корректно писать в кавычках. О написании наименования 1С см. в ответе на вопрос № 293757.
Правильно: Директор компании «Ромашка» интегрировал систему с «Госключом». Если компания свое наименование пишет без кавычек, то в кавычках останется только название «Госключ».
Верно: сотрудники награждены медалями.
Нужна запятая после компанию. Слово заказчик следует писать с маленькой буквы (если только это не условное наименование в тексте договора).
Нужна запятая перед только: мероприятие проводится, только когда дела в компании идут хорошо.
Не хватает еще одной запятой – после слова программы.
Да, название компании "ВТБ Лизинг" следует заключать в кавычки.
См. также 214984
Да, эти названия склоняются: абонент «Казахтелекома». Но (с родовым словом): абонент ОАО «Казахтелеком».
В таком случае используются одинарные кавычки.
Так можно, но лучше написать началась.
Названия, написанные латиницей, в текстах на русском языке обычно не заключаются в кавычки.