Такое употребление некорректно. Правильно: следующий год.
Это фразеологические сочетания, кавычками их выделять не нужно.
Сочетание в лесу отвечает на вопрос где? и является обстоятельством.
См. ответ на вопрос № 314440.
Вопрос о том, применять или не применять сокращения, зависит от характера текста. Сокращения не должны противоречить характеру (виду литературы), а также назначению произведения (читательскому и социально-функциональному). Напр., в тексте произведения художественной литературы, поскольку оно адресовано не специалисту, а широкому читателю, нежелательны сокращения, если они не вызваны стилистической или художественной задачей, поскольку они придают художественному тексту не свойственный ему деловой характер, а в тексте произведения технической или научной литературы при многократном употреблении исходного слова или словосочетания они целесообразны, как и в тексте произведения специальной справочной литературы, рассчитанной на читателя-специалиста. При этом однотипные слова и словосочетания должны сокращаться или не сокращаться. Если одни сокращаются, а близкие к ним по характеру остаются в полной форме, принцип единообразия в сокращении нельзя считать выдержанным. Напр.: если принято решение после цифр года словá год, годы сокращать, то требуется сокращать и слова век, века после цифр, обозначающих столетия; если решено сокращать после цифр г. и в., то для единообразия надо сокращать после цифр гг. и вв.
Запятую принято ставить.
