В таком случае можно использовать арабские цифры со скобками.

В примере нет ошибки, он соответствует правилу. В правиле речь идет о том, что запятая не ставится между да и и следующим союзом или союзным словом, то есть в данном случае между да и и что.

Рекомендуемый вариант:

В гимне Российской Федерации причудливым образом переплетены политические идеологии:
- социализма, с его опорой на равенство людей и народов («Широкий простор для мечты и для жизни» и «Братских народов союз вековой»),
- либерализма, с его опорой на свободу («Славься, Отечество наше свободное»),
- консерватизма, с его опорой на традиции («Могучая воля, великая слава», «Предками данная мудрость народная»),
— и религиозная идеология «священности» и «хранимости Богом». Все они в совокупности связывают между собой личность и общество в концепции служения Родине, когда «нам силу даёт наша верность Отчизне».

Полностью соответствует современным правилам русской пунктуации вариант 2.

Корректно оформить некоторые части предложений как вставные конструкции: 1. На защите итоговых проектов ученик был увлечён своей темой — у него горели глаза — и с большим энтузиазмом показывал нам на проекторе слайды, отражающие основные тезисы его работы. 2. Радио, которое работало у бабушки на кухне днями напролёт (нас с сестрой это всегда раздражало), вдруг притихло, и мы были поражены наступившему молчанию.

…Удивительное ходит рядом,
В том же месте, даже в тот же час.
Пусть и ноги не несут, но надо
Через тернии пройти не раз,
Чтоб заметить след твой неостывший
На истоптанном пути людском,
Чтобы, прошлое вдвоём простивши,
Половинки склеить сургучом!
Как узнать в толпе среди прохожих
Лишь того, кто ищет твой же след?
Повернуть в проулок, где, возможно,
Кто-то тоже ждёт тебя… иль нет…

В этом случае, конечно, прямой речи нет, Ваш вариант пунктуации корректен. Но нужно также проверить, насколько однозначно фраза будет воспринята читателем.

Ваши наблюдения абсолютно верны. Двоеточие в некоторых случаях может заменяться на тире. И это оговорено в правилах пунктуации. Например, вот примечание к правилу о бессоюзном сложном предложении.

В бессоюзном сложном предложении при обозначении пояснения, причины, обоснования, изъяснения допустимо употребление тире вместо двоеточия (особенно в художественной литературе и в публицистике). Вот, в частности, примеры из произведений К. Паустовского: Изредка в небе светилось голубоватое пятно — за тучками пробивалась луна, но тотчас гасла; Подснежники, наверное, уже прорастали в земле — их слабый травянистый запах просачивался сквозь снег; Слой облаков был очень тонок — сквозь него просвечивало солнце; На молу погасили огни — теплоход ушел; Татьяна Андреевна вздрагивала от сырости — после теплой каюты на палубе было свежо; Паханов крепко держал капитана за локоть — капитан был еще слаб после ранения; Ей хотелось заплакать — лом даже через варежки леденил руки; В армию меня тоже не берут — сердце заштопанное; Однажды зимой вышел я и слышу — стонет кто-то за оградой.  (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 129.)

Обратите внимание: такая замена признается допустимой, не ошибочной, но все же в приведенных случаях предпочтительно ставить двоеточие. 

Вот примечание к правилу об однородных членах с обобщающим словом.

Допустимо используемое в современной практике печати при всех позициях обобщающих слов употребление тире, в том числе — перед перечислением (на месте традиционного двоеточия): Хороших байдарочников было всего трое — Игорь, Шуляев, Коля Корякин и, разумеется, сам Андрей Михайлович (Тендр.); Если бы его что-то выделяло среди других — талант, ум, красота... Но ничего такого у Дюка действительно не было (Ток.); Всё, всё услышал я — и трав вечерних пенье, и речь воды, и камня мертвый крик (Забол.); Я имел случай и счастье знать многих старших поэтов, живших в Москве, — Брюсова, Андрея Белого, Ходасевича, Вячеслава Иванова, Балтрушайтиса (Б. Паст.). (Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. § 36.)

Пунктуацию в таких перечнях следует исправить согласно рекомендациям справочника.