В данном случае выбор нужно сделать в пользу варианта двухшнековый. Он встречается во многих ГОСТах, энциклопедических и терминологических словарях, а также зафиксирован словарем-справочником «Слитно или раздельно?» (М., 1982). Слово двухшнековый будет включено в академический орфографический словарь при следующем пополнении словарной базы. Спасибо за вопрос!

Проблемы выбора прописных и строчных букв в личных именах, в том числе в прозвищах, наиболее подробно описаны в статье Е. В. Арутюновой, Е. В. Бешенковой, О. Е. Ивановой  «Прописные и строчные буквы в собственных именах людей, прозвищах, псевдонимах, кличках: из академических правил русской орфографии».

Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН зафиксировал написание с одной м: зумер. Словарные статьи были добавлены в 2022 году:

бу́меры, -ов, ед. бу́мер, -а [добавление 2022]

зу́меры, -ов, ед. зу́мер, -а [добавление 2022]

Это слово долго испытывало колебания в написании, менялась его словарная фиксация. Написание уикенд в «Большом толковом словаре» отражает эти колебания. Но академическим «Русским орфографическим словарем» установлено написание уик-энд. Такую фиксацию Вы можете найти у нас в «Проверке слова», так мы отвечаем и в «Справочном бюро».

Полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.) рекомендует неизменяемое приложение, переданное цифрами, писать через дефис, например: Олимпиада-80, «Восток-2» (космический корабль), «Спрут-4» (телесериал), «Москвич-412», «Боинг-707». Так же пишутся сокращенные названия, например: Ту-104, МиГ-25. По аналогии — «Тополь-М».

Ответ, на который Вы ссылаетесь, очень старый, он, к сожалению, устарел. У лингвистов были разные взгляды на склонение слов с односложной основой типа кий, Бия (название реки). Современную орфографическую рекомендацию находим в академическом «Русском орфографическом словаре», ей соответствует и словарная статья академического орфографического ресурса. 

В «Правилах русской орфографии и пунктуации» 1956 года, которые Вы цитируете, пояснительный составной союз как то написан через дефис. Но норма изменилась. В «Полном академическом справочнике» 2006 года этот союз был зафиксирован в раздельном написании, что позволило орфографически отличать его от неопределенного местоимения (наречия) как-то. 

Правильно: Кабинет министров. Это написание соответствует правилам и закреплено академическим «Русским орфографическим словарем» с 1999 года (см. издание 2023 года). При этом в официальных документах названия органов власти субъектов РФ пишут в соответствии с конституциями (уставами) этих субъектов, например: Кабинет Министров Республики Татарстан.

Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует: 

ашиха́ра-карате́, нескл., с.

карате́, нескл., с.

карате́-до́, нескл., с.

карате́-кеку́синкай, нескл., с.

коси́ки-карате́, нескл., с.

По аналогии следует писать и другие названия стилей карате.