По правилам слово конноспортивный надо писать слитно (оно образовано от сочетания конный спорт). И в словарях дано слитное написание, Вы правы. Однако возникновение подобных споров доказывает правоту лингвистов, которые давно говорят, что правило о слитном/дефисном написании прилагательных на основе соотношения основ (подчинение/сочинение) не охватывает все сложные случаи и зачастую не помогает решить вопрос о написании слова. В современной письменной речи из этого правила уже очень много исключений. Еще в 1970-е годы лингвисты предлагали ориентироваться на формальный признак: если в первой части сложного слова есть суффикс прилагательного или причастия – пишем через дефис (естественно-научный), если нет такого суффикса – пишем слитно. Такому правилу соответствует написание конно-спортивный, и оно зафиксировано в словаре Б. З. Букчиной, Л. П. Калакуцкой «Слитно или раздельно?» (см., напр., 6-е изд. М., 1987).

Многие подобные написания закрепились в письменной речи и зафиксированы нормативными орфографическими словарями как исключения из действующего правила (например, естественно-научный, лечебно-физкультурный, авторско-правовой, народно-хозяйственный и мн. др.). Но при этом слово конноспортивный дается в современных словарях в слитном написании (т. е. в данном случае предлагается руководствоваться действующим правилом). См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.

К сожалению, ситуация, когда рекомендации одного словаря противоречат рекомендациям другого, не редкость. Словари составляются разными авторами (или авторскими коллективами), живущими в разных городах, представляющими разные лингвистические школы. У этих авторов вполне могут быть противоположные точки зрения по одному и тому же вопросу. Вряд ли возможно найти два таких авторитетных нормативных словаря, которые ни в одной словарной статье не противоречили бы друг другу.

И всё-таки считать варианты подпись и роспись полностью равнозначными сейчас вряд ли оправданно, рекомендация словаря Т. Ф. Ефремовой спорная. Отстоять свою правоту Вы можете ссылками на другие толковые словари русского языка. Например, в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой у слова роспись такого значения нет (есть значения 'действие по глаголу расписать', 'письменный перечень чего-либо' и 'живопись на стенах, потолках, предметах быта'). В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова указано, что слово роспись допустимо употреблять в значении 'подпись' лишь в разговорной речи (иными словами, и здесь варианты не признаются равнозначными). О том, что роспись нельзя использовать вместо подпись, писала филолог, журналист Марина Королёва в книге «Говорим по-русски с Мариной Королёвой» (М., 2003). Таким образом, большинство лингвистов за то, чтобы не признавать варианты подпись и роспись в данном значении равноправными.

Не очень понятно, что означает "исправить ситуацию". Не фиксировать в словарях вариант муромчане? Но ведь он встречается в речевой практике и ничем не нарушает словообразовательные нормы. См., например: Муромчане провожали его далеко за город с крестным ходом [Т. С. Еремина. Предания о русских иконах, 1994]; ...На Куликово поле пришли москвичи, ростовчане, белоозерские, смоляне, муромчане, а ушли с него — русские [Л. Н. Гумилёв. Древняя Русь и Великая степь. 1989] и т. п. 

При этом филологи не раз отмечали, что вариант муромчане — «типичный пример "внешнего" названия». Как пишет М. В. Ахметова в статье 2012 года, "жители города могут спорить, какой из двух равно использующихся сейчас в устной речи вариантов (муромцы или муромляне) более благозвучен и исторически корректен, но единодушны в том, что муромчане — это неправильно". А. Б. Тимофеев в классической книге "Правильно ли мы говорим?" (1961) возражал и против наименования муромляне: «До какой нелепости можно дойти в этом направлении, показывают слова "муромчане" и "муромляне", которые появились как наименования жителей древнего города Мурома, хотя в народной памяти живет великий предок и земляк современных "муромчан" — славный русский богатырь Илья Муромец!»

Дело в том, что употребление слов под ключ в значении 'в полной готовности' уже нелья назвать необычным, непривычным. Это сочетание широко употребляется в данном значении и зафиксировано в словарях русского языка (см., напр., «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова, «Орфографический словарь»).

К сожалению, приходится констатировать, что с подобными изысканиями, представляющими собой (мягко говоря) фальшь и нелепые выдумки, можно столкнуться не только на Украине, но и в других бывших советских республиках, в том числе и в России. Механизм один и тот же: авторы «научных» трудов объявляют, что первыми людьми на Земле были представители их нации, а первым языком, от которого произошли все остальные, – их язык. Так, украинские псевдоученые заявляют, что украинский язык – один из древнейших в мире (и уж во всяком случае древнее русского, который представляет собой диалект украинского), а их российские «коллеги» – что от русского языка произошли все языки мира (и даже рисунки в пустыне Наска и надписи на египетских пирамидах сделаны по-русски). И то, и другое одинаково далеко от реальности и нелепо, но весьма плачевно, что подобные фантазии находят поддержку у определенной части аудитории, служат своеобразной опорой для самоутверждения и почвой для развития национализма.

Правда же состоит в том, что предком всех славянских языков был праславянский язык, восходящий к индоевропейскому праязыку. Праславянский язык существовал в течение длительного времени – с 3-го тысячелетия до н. э. до 2-й половины 1-го тысячелетия н. э., когда произошел его распад и разделение на разные славянские языковые группы.  С VI–VII в. до XIV в. предки русских, украинцев и белорусов говорили на одном языке – общем языке восточных славян, называемом также древнерусским (это научный термин, не означающий какого-либо превосходства русского языка над остальными), но в XIV–XV вв. произошел и его распад на 3 самостоятельных языка – русский, украинский и белорусский. Такова реальная история этих языков, и те труды, где она поставлена с ног на голову, где украинский (или русский) язык выдается за  праславянский или даже праиндоевропейский, можно смело отнести к жанру фэнтези.

1. В справочниках не сформулировано правило о том, с какой буквы должна начинаться прямая речь, если она включается в текст как член предложения. Примеры приводятся разные, в частности: Это «не хочу» поразило Антона Прокофьевича; Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана; С криком «Спасайте детей!» юноша бросился в горящее здание (примечание к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя). Вопрос остается, видимо, на усмотрение автора текста. Добавим лишь, что если с помощью знака конца предложения (восклицательного, вопросительного знака, многоточия) передается интонация прямой речи, то естественно было бы начать ее с прописной буквы, чтобы представить как законченное предложение: Братья разворачиваются и уходят, и вслед им летит громогласное «Не смейте оставлять нас здесь!». Что касается двоеточия, то оно здесь совершенно точно не нужно.

2. Слово прощай может быть представлено и как нечленимое предложение, сказанное с определенной интонацией, и как слово, поэтому корректны разные варианты его оформления.

3. После тире ставится именно точка, потому что авторские слова, стоящие после прямой речи, представляют собой отдельное предложение. См. подробнее ответ на вопрос № 325744.

Интересный вопрос. Грамматического запрета на склонение фамилии Навсегда нет, по правилам ее нужно склонять. Кроме того, в устной речи (где не бывает прописных и строчных букв) сочетания типа с Еленой Навсегда будут поняты неправильно (навсегда будет воспринято как обычное наречие, а не как фамилия). Поэтому наша рекомендация – склонять эту фамилию.

Никакой знак препинания после здесь не нужен. Что касается кавычек: представляется, что в этой фразе содержится призыв к пассажирам не просить остановить «где-нибудь здесь», поэтому корректно эти слова заключить в кавычки. Во втором случае кавычки не нужны, ведь слова где-нибудь там не содержат указания на чужую речь. Корректно: Остановка «где-нибудь здесь» будет где-нибудь там.

В этих фразах грамматической неправильности нет.

Судя по приведенным отрывкам, запятая не нужна, так как союз и соединяет однородные сказуемые.