Названия должностей, званий, титулов пишутся строчными. Поэтому в нейтральном употреблении для прописной буквы нет оснований.
Но вполне можно предположить, что контекст не нейтральный, тогда такой категоричный ответ не подходит. В обращении профессор вместо обращения по имени и отчеству видится намек на какую-то языковую игру или на дружеские взаимоотношения, а в рамках такой игры или в разных стилистических целях прописная буква может быть уместна (например, в шутку подчеркнуть особый высокий смысл, вкладываемый в слово профессор, и т. д.).
Правильно: по обоим аспектам.
Возможны оба варианта.
Может быть, так: результаты эксперимента по белковому обмену?
Корректно: по классу баяна.
В таких случаях наречие пишется с двумя дефисами: по-нью-йоркски, по-нью-орлеански...
В значении "когда достигнет" верно: по достижении.
В значении "после прилета" - по прилете.
Корректно: по запискам каким? — находящимся в альбоме.
