Оба варианта корректны.
«Словарь собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010) фиксирует оба варианта, указывая в качестве предпочтительного вариант Вирджиния.
На Ваш вопрос нельзя ответить, не зная формальных и семантических характеристик наименования. Постановка кавычек зависит от многих факторов: графическая система, используемая для оформления названия (кириллица/латиница), наличие аббревиации в названии, наличие родового слова при наименовании, контекст, в котором употребляется название, и др.
Вы написали правильно.
Корректно: СПб.
Вы написали это название правильно.
Правильно: площадь Восстания и "Площадь Восстания" (станция метро).
Самый первый в мире детский сад был организован в 1837 году немецким педагогом Фридрихом Вильгельмом Августом Фрёбелем, ему же принадлежит и название.
Это слово женского рода.
