Да кавычки нужны, при этом предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Риелторское агентство "Новый квартал"».
Да, мужская фамилия Котяк склоняется: Котяка, Котяку и т. д. Женская фамилия Котяк не склоняется.
Да, слова онлайн и офлайн уже зафиксированы академическим «Русским орфографическим словарем», правильно их слитное написание.
Да, необходимо раздельное написание, для того чтобы этот термин можно было отличить от причастия несущий.
Да, слово кофе сейчас допустимо употреблять как существительное среднего рода, но только в разговорной речи.
Да, Ваша логика верна. Правильно: Оплата стоимости услуг Исполнителя, указанной в п. 1.1. Договора...
Да, форма ед. числа – гантель, это существительное женского рода 3-го склонения. Форма творительного падежа – гантелью.
Да, верно: с автомобилем, перевозившим (каким? творительный падеж). Но: в автомобиле, перевозившем (каком? предложный падеж).
Да, прилагательное мандаринный есть в современном русском литературном языке и зафиксировано словарями. Его можно использовать.
Да, например: Война Севера и Юга (в США, ист.), Вооружённые силы Юга России (белая армия).
