Правильно: постриженник.
Верно: день икс.
Да, это слово склоняется. См. словарную фиксацию.
Согласно «Морфемно-орфографическому словарю» А. Н. Тихонова в слове направление выделяется корень направл-.
Да, такой перенос допускается (равно как и перенос под-оконник).
Корректно по отношению к исторической эпохе: поздняя Античность.
Слово Античность как название исторической эпохи следует писать с прописной буквы (см. словарную фиксацию). Прилагательное поздний в сочетании поздняя Античность пишется со строчной буквы по аналогии с сочетанием раннее Средневековье (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).
Да, склоняется.
Да, эта мужская фамилия склоняется: Макаря, Макарю и т. д.
Такое употребление встречается в диалектах и в просторечии, но оно не является нормативным для литературного языка.
Правильно: задача-минимум.
