Форма мужского рода (управляющий) по отношению к женщине используется в тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности безотносительно к полу лица (обычно в строгой официально-деловой речи). В обиходной письменной и тем более устной речи следует использовать форму женского рода. В тексте распоряжения, полагаем, будет уместна форма мужского рода.

Правильно: олимпийский чемпион, олимпийские медали, олимпийский огонь, эстафета олимпийского огня, олимпийский факел.

Обычно порядок слов такой: зимние Олимпийские игры, летние Олимпийские игры.

Неизменяемое приложение, передаваемое на письме цифрами, присоединяется дефисом: Сочи-2014, Олимпиада-2014. Однако в том случае, когда перед цифрами стоит не слово, а сочетание слов, дефис заменяется на тире: Олимпийские игры – 2014.

Мы предполагаем, что Вы имели в виду случай вроде река Енисей, когда название реки мужского рода. Выбор местоимения зависит от того, с родовым словом употребляется название реки или без него. С родовым словом верно: Мы вышли на реку Енисей. На ее берегах... Без родового слова верно: Мы вышли на Енисей. На его берегах...

В русском языке нет слов, описывающих ситуацию однополого брака; слова женат и замужем употребляются, когда речь идет о союзе мужчины и женщины. В рассматриваемой ситуации каждый из супругов может говорить я состою в браке, а если речь идет об обоих супругах, можно сказать: заключили брак, вступили в брак, сочетались браком, создали семью.

Если однородным членам предложения не предшествует обобщающее слово (словосочетание), то перед ними двоеточие ставится только в том случае, когда необходимо предупредить читателя, что дальше следует перечисление. Как правило, если обобщающего слова нет, то решение о том, ставить ли двоеточие, принимает автор текста, ориентируясь на интонацию. То есть в данном случае однозначного ответа нет.

Фома неверующий – о человеке, которого трудно заставить поверить чему-либо. Оборот пришел из Евангелия. Один из апостолов, Фома, когда ему рассказали о воскресении распятого Христа, заявил: «...если не увижу на руках Его ран от гвоздей, и не вложу перста моего в раны Его, и не вложу руки моей в ребра Его, не поверю».

Это вполне закономерная форма. См., например: Жизненная мудрость состоит в том, чтобы обедать куском черного хлеба и есть его с наслаждением [А. А. Фет. Мои воспоминания / Часть I (1862-1889)]; Когда они вошли, девочка в одной рубашечке сидела в креслице у стола и обедала бульоном [Л. Н. Толстой. Анна Каренина (1878)] и т. п. 

В данном случае выделение/невыделение запятыми оборота с союзом как подчеркнет разные оттенки смысла: Гота, как танкового командира, раздражало (раздражало, поскольку он был танковым командиром); Гота как танкового командира раздражало (в качестве танкового командира (когда он выполнял обязанности танкового командира) раздражало, "а так нет"). Первый вариант кажется нам куда более вероятным.

Написание местоимений Ты, Твой с прописной буквы возможно: а) в церковно-религиозных текстах, когда эти местоимения заменяют слова Бог, Божий, употребляются как обращение к Богу, б) в особом стилистическом употреблении, близком к описанному выше (например, написание с прописной у А. А. Блока при обращении к Прекрасной Даме как к неземной женщине, к божеству).

Коммуникативно выделенное слово Арктика действительно выполняет роль приложения к существительному название, находящемуся внутри причастного оборота, и закрывать оборот перед этим приложением было бы странно. Ситуация, когда внутри причастного оборота необходимо поставить тире перед каким-либо коммуникативно выделенным словом, в справочниках не кодифицирована. Но, если перестроить предложение невозможно, тире (без запятой) представляется единственно приемлемым вариантом.