Слово центр следует писать с маленькой буквы.
Правильно: карлсруэсец.
Правильно: березниковцы, березниковец, жительница Березников.
Да, это возможно.
Верно: в г. Уфе. Подробно об этом см. в "Письмовнике".
В Елизове, из Елизова, горжусь Елизовом и т.д.
Название склоняется по общему правилу: от города Сарова.
Согласно словарю Ф. Л. Агеенко, верно: Ухань, Ухани, Ухани, Ухань, Уханью, в Ухани.
Однако не все лингвисты разделяют такой подход. Так, в справочнике Л. Р. Концевича "Китайские имена собственные и термины в русском тексте. Пособие по транскрипции" предлагается склонять китайские географические названия, оканчивающиеся на -нь, в зависимости от родового слова. Так, названия городов, горных хребтов, проливов и проч. автор предлагает склонять как существительные мужского рода, например зверь: в [городах] Таньцзине, Сиане, Аньшане. А названия провинций, пустынь, равнин, деревень — как существительные женского рода: в Хуйнани (провинция). Согласно этой логике верно: Ухань, Уханя, Уханю, Ухань, Уханем, в Ухане.
Правильно: Франтишкови-Лазне.
Правильно с прописной. Управление пишется с прописной буквы как первое слово официального названия.
