Наличие предлога в случае перед отглагольным существительным является признаком того, что не с образует с этим существительным единое слово: в случае неперечисления (см. пункт 3 параграфа 148 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина).

Оснований для постановки запятой нет.

Запятые допустимо не ставить.

Что Вы называете йотированными окончаниями в приведенных примерах?

Эти местоимения нельзя считать "окончаниями", однако они употреблены в соответствующем каждому существительному грамматическом роде и числе, при этом определенные закономерности в склонении существительных и местоимений действительно существуют (в современном русском языке эти закономерности легче проследить по полным прилагательным).

1. Охватывает гнев: мало мне забот и бед, так еще и непутевые дети.

2, 3. Корректно.

4. Я отошел и, будто с завистью к его счастью, сказал плохие слова.

5. Тревожная Ольга нарушила веление (?) и, ослушавшись, направилась в лес.

6. Пунктуация верна, однако объединение обстоятельств в ряд однородных стилистически неудачно.

Правило, о котором Вы говорите, касается существительных со значением лица по роду занятий. Такие существительные, называющие лицо или предмет, производящий действие, образованы с помощью суффикса -чик/-щик и мотивированы они, как правило, глаголами: перевозить – перевозчик, переплетать – переплетчик, обходить – обходчик, обмануть – обманщик. В таких словах, действительно, суффикс -чик пишется только после согласных Д, Т, З, С, Ж; после других согласных пишется суффикс -щик.

Теперь о слове шкафчик. В нем выделяется суффикс -чик, имеющий совершенно другое значение (т. е. здесь перед нами суффиксы-омонимы). Существительные, образованные с помощью данного суффикса -чик, имеют уменьшительное значение и мотивированы они именами существительными: шкаф – шкафчик, сарай – сарайчик, рукав – рукавчик, тулуп – тулупчик, костюм – костюмчик, стакан – стаканчик, самовар – самоварчик, стул – стульчик. Суффикса -щик здесь быть вообще не может.

Что касается других слов из данного задания ЕГЭ, то ни в одном из них нет суффикса -чик. В словах огурчик и мячик  выделяется суффикс -ик, а в слове пончик -чик является частью корня.

На обыденном уровне в таких перечислениях прочитывается логическое «или», ведь реконструкция — более серьезное «вмешательство», нежели капитальный, а тем более текущий ремонт. Если бы устранение физического износа зданий и сооружений могло выполняться только путем реконструкции, то зачем упоминать в тексте какие-либо виды ремонта?

Конечно, доля двусмысленности здесь есть, избавиться от нее можно с помощью повторяющегося разделительного союза: ...устранение физического износа зданий, сооружений выполняется путём либо текущих ремонтов, либо капитальных ремонтов, либо реконструкции.

Запятая после гаджета нужна, так как это сложносочиненное предложение, при этом общего члена у частей сложного предложения нет (слова у нее относятся только к первой части).