См. ответ на вопрос № 274479.
Поскольку «Адаптер» — название клуба, а не школы, то верно: школа (чья?) «Адаптера».
Правильно: ГБОУ «Школа...» провело мероприятия. Сказуемое согласуется со словом учреждение. Ср.: кинотеатр «Родина» открылся после ремонта (не открылась).
Правильно: в школе № 1 г. Беслана, о награждении Груздя Николая. Подробнее см. в «Письмовнике» и http://spravka.gramota.ru/surnames.html [работу Н. А. Еськовой].
Если название употребляется в тексте, кавычки нужны: У нас открыли магазин «Мила». В «Миле» самая вкусная кулинария.
Если название указывается на вывеске (без родового слова магазин), кавычки не ставятся.
Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.
Можно сказать: школа пополнилась двадцатью учениками.