Причастие и деепричастие - это разные части речи (или, иначе, разные глагольные формы). О различиях между причастием и деепричастием можно прочитать в учебном пособии Е. И. Литневской на нашем портале: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i7 (Нужно пролистать страницу до разделов "Причастие" и "Деепричастие").
Обе формы сказуемого возможны.
Название Вышний Волочёк сохраняет орфографическую форму, которая закрепилось еще до унификации написания ё и о после шипящих, проведенной в 1956 году. До этого важного события в истории орфографии написание ё и о после шипящих колебалось.
Самый распространенный случай использования прилагательного, образованного от этого топонима, — в названии Бо́гдинско-Баскунча́кский заповедник. В этом названии ударение в прилагательном падает на первый слог. Представляется разумным и в других случаях использования прилагательного сохранять ударение на первом слоге.
Запятая не нужна, т. к. сравнительный оборот здесь в роли сказуемого.
Да, нужно склонять.
Эти фамилии склоняются (и мужские, и женские).
Возможный вариант: Ложка дегтя — нет, две! — в бочку с жизненным мёдом.
Грамматически верно: диогеновой, но этот оборот обычно употребляется в форме бочка Диогена.
