1. Оба варианта возможны. 2. Правильно с предлогом В.
Оба варианта правильны, но немного различаются по смыслу. Винительный падеж зависимого существительного (Кому дать кабачки?) уместно использовать, если речь идет о конкретных, «вот этих» кабачках, например изображенных на фотографии. Родительный падеж (Кому дать кабачков?) указывает на неопределенность, на некоторое количество «каких-нибудь» кабачков.
Эта фраза восходит к словам князя Владимира Федоровича Одоевского (1803–1869) «Солнце нашей поэзии закатилось!». Это неподписанное извещение о смерти А. С. Пушкина в «Литературных прибавлениях к "Русскому инвалиду"», 1837, № 5, 30 января. Автором извещения долгое время считался редактор «Литературных прибавлений» А. А. Краевский.
Правильно: письмо Марии.
Мужская фамилия склоняется, причем предпочтительно склонение без выпадения гласной: Заяца, Заяцу.
Мужская фамилия Карась склоняется, правильно в дательном падеже: Карасю.
Правильно: кому - Марии.
