К сожалению, в словарных источниках это географическое название найти не удалось.

Строй предложения, о котором Вы пишете, невозможен. Если мы уберем придаточное, то останутся две не связанные друг с другом части (Озеро окружено густым лесом, и немало крупных птиц). Вариант с запятой ошибочный.

Вы правы: на пляже отдыхают, загорают, а купаются в воде. Распространенность сочетания купание на пляже, видимо, можно объяснить тем, что пляж в этом случае широко понимается как в целом место для отдыха, где есть и песок, и какая-то вода (река, море и др.). Представляется, что такое сочетание можно признать допустимым в непринужденной речи, но не в образцовом употреблении.

И всё же это название подчиняется общему правилу: нарицательные существительные в составных географических названиях пишутся с прописной буквы, если они употреблены не в своем обычном значении. Правильно: поселок Чусовское Озеро.

Запятая нужна, она разделяет части сложного предложения: Отец признавался, что однажды уронил первенца, но не в чан с зельем, а в озеро, и тогда уже сын удивил его выдержкой и храбростью.

В лингвистических источниках обсуждаемая синтаксическая конструкция действительно квалифицируется двояким образом. В академической «Русской грамматике» (1980) читаем: «К приложениям относятся все определения — названия лица собственным именем: девочка Оля, мальчик Петя, тетя Катя, дядя Ваня, собака Шарик, боец Дорофеенко, моя соседка Петренко». В разных изданиях школьных учебников по русскому языку, подготовленных при участии В. В. Бабайцевой, находим иное объяснение: «При сочетании нарицательных и собственных имен существительных приложением является нарицательное существительное, если имя собственное называет лицо: Врач Петрова пришла». Очевидно, что при решении школьных задач необходимо руководствоваться определением того учебника, по которому работает педагог и учатся его подопечные. Научные цели предполагают знание проблематики вопроса, о которой, в частности, пишет В. П. Москвин в недавно опубликованной статье «К уточнению понятия „​​​​​​​приложение“ в русской грамматике» (Известия Волгоградского государственного социально-педагогического университета. Филологические науки. 2025. № 2).

Нужна одна запятая: До этого чистили только Южное озеро, и то два года назад.

С географическим термином река наблюдается тенденция склонять названия женского рода и не склонять названия мужского рода: на р. Северный Колчим. Правила склонения географических названий в сочетании с родовым словом см. в «Письмовнике».

Надзиратель положил пакет на стол со словами "Знаю, что там написано", а сопровождавший меня жандарм сделал под козырек и, кивнув мне головой "До доброго свидания!", вышел из прихожей.

В общем-то логично, что в древнерусских летописях не было буквы Ё :) Да и после 19-го века эта буква употреблялась непоследовательно. Вероятно, авторы статьи правы насчет исконного произношения с Е. Более того, произношение других наименований на -озерск (Белозерск, Приозерск, Гусиноозерск, Шелтозерский район) заставляет усомниться в справедливости словарной рекомендации.