Оба варианта возможны.
Слово проплатить зафиксировано в словарях как финансовый термин со значением "перечислить деньги через банк для оплаты чего-либо".
В первом случае требуется дефис (банк-резидент), во втором - тире с пробелами (банк -- резидент Российской Федерации).
Все варианты "правильные" - они соответствуют разным правилам, разным стандартам транслитерации.
С точки зрения грамматики все просто: вторая часть таких названий, представляющая собой склоняемое нарицательное существительное, должна склоняться. Это привычно для слуха.
А вот написание с пробелом действительно воспринимается плохо на фоне привычных аббревиатур и составных слов с первой неизменяемой частью - приложением. И если "АКБ Банк" можно превратить в банк "АКБ", то с названием "Газпром нефть" такая трансформация не получается (и хочется ожидать слитного написания).
Лучше так: Нужно хранить сберегательную книжку и заявить в банк в случае ее утери.
Поставленная Вами запятая нужна. Сочетание "сердце экономической жизни" не вполне корректно стилистически.
Правильно: заботится.
Использование формы мн. ч. предпочтительно, но не обязательно.
Кавычки не нужны.