Это прилагательное.
Воспользуйтесь схемой разбора из пособия Е. И. Литневской.
Такой разбор верен. Также -ть можно выделить как суффикс.
Звук [э] может находиться только в ударной позиции; попадая в безударную, он редуцируется. В школе обычно этот безударный звук называют звуком [и], хотя правильнее говорить о некотором промежуточном звуке между [и] и [э]. Его называют «и с призвуком э» и обозначают так: [иэ].
Уточните, пожалуйста, по поводу чего именно возникли разногласия.
По-ну-ка-ни-е.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Вс-помин-а-ть.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Род-ств-енн-ик-и.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Корень уч-, суффиксы -и-, -тель-, -ниц- и окончание -а.
См. в учебнике Е. И. Литневской.
Слова отдых и передышка, продых этимологически родственные, но в современном русском языке однокоренными уже не являются.