Отвлеченный характер существительного препятствует образованию форм мн. ч. в указанных Вами контекстах.
В таких случаях гласный не пропадает. Правильно: зооолимпиада.
Правила русской орфографии оговаривают только, что в слитно пишущихся словах не пишется больше двух одинаковых согласных подряд, хотя бы это и требовалось составом слова. Так возникают написания типа рассориться (рас+ссориться), колонный (от колонна: колонн+ный). Сочетание в слитно пишущих словах трех одинаковых гласных не нарушает норм русского письма.
Такое употребление допустимо, ср.: Передвигали мебель, освобождая зал (Б. Л. Пастернак).
Оба сочетания верны, но это разные способы носить сумку.
Правильно: предоставить.
Верно: предоставить отпуск на четверо суток.
Предложение не вполне корректно, нужно переформулировать.
Выражение доброго времени суток иногда встречается в электронной переписке, когда пишущему неизвестно точное время получения сообщения адресатом. Однако эта фраза не относится к принятым формам речевого этикета и не соответствует этикетным нормам приветствия в русском языке. Лучше использовать универсальное приветствие добрый день.
Правильно: трое суток. Но: годен в течение трех суток.
Верно: афинская агора.
