Д. п. - Марии.
Корректно: день рождения, с днем рождения. В разговорной речи возможно: день рожденья, с днем рожденья.
Грузинские фамилии на -ия склоняются (и мужские, и женские). Правильно: работа Александра Макацарии.
Употребляются варианты Гагра и Гагры (второй вариант отражен в названии известного фильма «Зимний вечер в Гаграх»). Но словарями русского языка зафиксировано: Гагра, такое же название употребляется в картографических изданиях Росреестра. Это склоняемое существительное: поехать в Гагру, отдыхать в Гагре, сказочная Гагра.
Правильно: действующего. В письменной деловой речи принята норма согласования с названием должности – директор (безотносительно к полу).
См. ответ на вопрос № 256612.
Верно: ...или, по их выражению, статьи...
Пунктуация верна.
Запятая факультативна.
Аваньянц – мужчина или женщина? Если мужчина, правильно: в лице генерального директора Аваньянца, если женщина – в лице генерального директора Аваньянц.