Верная пунктуация: Помочь детям, больным раком, можем только мы.
Пожалуй, такое выражение не слишком удачно, однако сочетание земной шар используется здесь в значении "планета Земля", а слово конец — в значении "место на какой-л. территории, в каком-л. государстве, расположенное далеко от данного места (Такие письма разослали во все концы страны)".
Название университета склоняется: в Карловом университете.
Сочетание страны мира корректно, никакой избыточности в нем нет. Ср.: страны Европы, страны Азии, страны Ближнего Востока...
Правильно: в 1,8 раза, в 5,5 раза.
Запятая не нужна.
Это слова общего рода.
В значении 'прожить, пробыть где-либо или каким-либо образом' правильно: провести что: как я провел это лето. Это очевидно для любого грамотного носителя русского языка – разумеется, и для создателей фильма «Как я провел этим летом» тоже. Отсюда следует, что в названии фильма (которое, на первый взгляд, содержит явную грамматическую ошибку) «неправильное» управление не случайно – это своего рода загадка, разгадать которую предложено нам, зрителям (по-видимому, после просмотра фильма станет ясно, почему он так называется).
Большой толковый словарь
Способный породить, вызвать что-л. (нежелательное, неприятное). Чем чревато будущее? Ангина чревата осложнениями. Ситуация чревата, ей-богу! (разг.).
