Нет, кавычки не нужны.
Слово кег склоняется, форма кеги (мн. число, именительный падеж) правильная.
Словари фиксируют слово мойка как имеющее формы мн. числа во всех значениях. Однако Ваши сомнения обоснованны: употребление слова мойка в значении мытье во мн. числе уместно не во всех контекстах.
Нет, так сказать нельзя. Правильно: им двигало.
Слово родина пишется с большой буквы, если употребляется в особом высоком смысле.
Аббревиатура пишется слитно (при произнесении в соответствии с написанием): техвопрос. Графическое сокращение - раздельно, с точкой (при произнесении слова целиком): тех. вопрос.
Правильно: четырехъядерный.
Согласно словарям, возможны оба варианта.
В этом предложении нет подлежащего.
Это просторечие, его лучше не употреблять ни в письменной, ни в разговорной речи.
