В разговорной речи обращение Карин возможно. Это особая звательная форма существительного, ср.: мам, Коль, Петь, Сонь.
Предпочтительно: Я Вам пишу. Вариант писать к кому-либо устаревший («Я к вам пишу – чего же боле?»).
Да, это деепричастие, на это указывает и суффикс, и вопрос, и синтаксическая роль слова в предложении.
Поскольку в этом предложении личное местоимение я играет роль сказуемого, а не подлежащего, постановка тире возможна.
Поскольку в данном случае сравнительный оборот выполняет роль обстоятельства образа действия, запятая перед ним не нужна.
В данном случае запятая перед как не нужна, поскольку сравнительный оборот как пирожные играет роль сказуемого.
Так говорить, разумеется, можно, но следует иметь в виду, что уточнение лично подчеркивает особую роль говорящего.
Инфинитивы играют здесь роль обстоятельств в неполных предложениях: Все уехали: кто [уехал] учиться, кто [уехал] работать.
В таком контексте слово ладно играет роль первой части текстовой скрепы ладно... но... и не требует обособления.
Да, в подобных предложениях слова или Катастрофу, или лесные братья играют роль пояснительных членов предложения и выделяются запятыми.
