Это союз но и предлог несмотря на. Верно: Но, несмотря на все уговоры, Катя решила бросить университет.
Женщина тоже может быть профессором :)
Кавычки не требуются.
Корректно: почетная грамота "Ленгражданпроекта", пришел на работу в "Ленгражданпроект".
Стелить - это глагол первого спряжения.
Корректно: Вспоминаю ту поразившую меня картину. Собрались все, и вовремя (в значении 'и притом вовремя').
Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, если род названия и род термина не совпадают. Корректно: из села Кулунда.
Верно: поисковый запрос, поисковый робот.
Корректно написание со строчной буквы без кавычек: струна ми. Слово ми здесь используется в переносном значении, которое не должно отмечаться ни прописной буквой, ни кавычками.
Правильно: не делает того, что хочет. Подробные рекомендации по выбору падежа при отрицании см. в «Письмовнике».
