Род определяется по слову шоссе, слово относится к среднему роду: шоссе-магистраль пересекло...
Фраза составлена неудачно, путаница в согласовании подлежащего и сказуемого (грамматический род не совпадает).
В род. падеже правильно: четырехсот, пятисот. Подробнее о склонении числительных см. в «Письмовнике».
Верно: В период с 1932 по 1990 год ННГУ назывался Горьковским государственным университетом.
Правильно: компонентов. Ср.: компонента (им. п., ед. ч.) – компонент (род. п. мн. ч.).
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
Корректно: до Лихобор. Ср. подобные названия в род. падеже: до Холмогор, до Никологор.
Возможны оба варианта, но более употребителен вариант с род. падежом: не знать ответа.
Общего правила нет. Существительные, обозначающие род деятельности, чаще употребляются в форме ед. ч.
Для страницы следует использовать код, приведенный здесь: http://www.gramota.ru/slovari/forma/
