Раздельное написание корректно, если есть противопоставление или если подчеркивается отрицание: Это не рабочая неделя, а какая-то вакханалия. Если же подчеркивается непринадлежность недели к рабочим (т. е. утверждается понятие, а не отрицается), правильно слитное написание нерабочая неделя.

Едва ли сочетание (быстро)развивающийся мир является терминологическим сочетанием, указывающим на тип мира (сравним: вечнозеленые растения — тип растений, крупномолотый перец — тип приправы), а значит, здесь возможно только раздельное написание наречия и причастия: быстро развивающийся мир.

Раздельное написание с буквенным наращением неправомерно вот по какой причине: соответствующие сложные прилагательные пишутся слитно (двухэтажный, трехкамерный), буквенное наращение после цифр принято использовать лишь в одном случае - при обозначении порядковых числительных (2-й, 3-й - второй, третий).

В Вашем примере корректно слитное написание отрицательной частицы в обоих случаях. Дело в том, что раздельное написание (при отсутствии противопоставления и иных условий для написания с пробелом) - это признак "усиления" отрицания, интонационного выделения частицы при прочтении.

Написание этого сочетания определяется контекстом. При намерении подчеркнуть цельность выражаемого признака (это возможно прежде всего в терминах) правильным будет слитное написание. В других случаях правильно раздельное написание как сочетания наречия с причастием или прилагательным-причастием. Подробнее см. здесь.

Корректны оба варианта написания, как слитное, так и раздельное, однако в данном случае более логично именно слитное: что нескладно, то и неладно. 

См.: https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/napisaniya-s-otritsaniem-ne; https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pravila-russkoy-orfografii-i-punktuatsii/slitnoerazdelnoe-napisanie-ne

Дефисное написание правильно. Ученый здесь – существительное в значении 'высококвалифицированный специалист в области науки'. При раздельном написании ученый превратится в прилагательное со значением 'грамотный, образованный', т. е. сочетание ученый пчеловод будет означать 'грамотный пчеловод' (подразумевается, что есть и пчеловоды-неучи).

Сложные существительные с не употребляющейся самостоятельно первой частью на согласную пишутся через дефис или слитно, так что раздельное написание исключено. Дефисное — возможно, по аналогии с другими словами, состоящими из части айс и самостоятельного слова (айс-гольф, айс-дайвинг, айс-ревю). 

В обоих предложениях правильно раздельное написание: продать за границу, уехать за границу. О наречном сочетании за границу и существительном заграница, которое имеет форму вин. падежа (вижу/люблю/ругаю) заграницу, можно прочитать в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря».