Выражению посвящена статья Е. Мельниковой «Мне это откликается: новое управление?» в свежем номере журнала «Русская речь». Более подробного ответа на Ваш вопрос не найти. Автор пишет: «Рассмотренная конструкция представлена главным образом в разговорной речи. Новое значение глагола откликаться и его новое управление не фиксируются нормативными словарями. Результаты влияния разговорной речи на литературный язык, по мнению Л. П. Крысина, „нередко ... оцениваются как нарушение традиционной синтаксической нормы, но в них можно видеть и зарождение неких новых тенденций в построении высказывания“».
Увы, это вопрос не по адресу.
К сожалению, ситуация, когда рекомендации одного словаря противоречат рекомендациям другого, не редкость. Словари составляются разными авторами (или авторскими коллективами), живущими в разных городах, представляющими разные лингвистические школы. У этих авторов вполне могут быть противоположные точки зрения по одному и тому же вопросу. Вряд ли возможно найти два таких авторитетных нормативных словаря, которые ни в одной словарной статье не противоречили бы друг другу.
И всё-таки считать варианты подпись и роспись полностью равнозначными сейчас вряд ли оправданно, рекомендация словаря Т. Ф. Ефремовой спорная. Отстоять свою правоту Вы можете ссылками на другие толковые словари русского языка. Например, в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой у слова роспись такого значения нет (есть значения 'действие по глаголу расписать', 'письменный перечень чего-либо' и 'живопись на стенах, потолках, предметах быта'). В «Большом толковом словаре русского языка» под ред. С. А. Кузнецова указано, что слово роспись допустимо употреблять в значении 'подпись' лишь в разговорной речи (иными словами, и здесь варианты не признаются равнозначными). О том, что роспись нельзя использовать вместо подпись, писала филолог, журналист Марина Королёва в книге «Говорим по-русски с Мариной Королёвой» (М., 2003). Таким образом, большинство лингвистов за то, чтобы не признавать варианты подпись и роспись в данном значении равноправными.
Корректно: поехал в Кот-д’Ивуар.
Такую фамилию следует склонять.
В обоих предложениях приходится пишется без мягкого знака, поскольку это форма третьего лица настоящего времени, а не инфинитив. Мягкий знак в -ться пишется только в инфинитиве (начальной форме глагола, которая отвечает на вопрос "что делать?" или "что сделать?").
Предлог ко лишний.
