О происхождении слова сорок см. ответ на вопрос № 242991.

Да, правильно: титул графа, титул короля, но титул "граф", титул "король". Во втором случае слова граф и король являются названиями. 

Все вздрогнули (как?) испуганно (наречие). — Ботвинник уже через пять ходов получил  (какую оценку, ставшую результатом действия по глаголу выиграть?) "выиграно" (краткое причастие). 

Удвоенная согласная указывает на долготу звука. Ср. коса [каса], но касса [касса]. 

Существует прилагательное ро́ссыпный, оно зафиксировано в орфографическом словаре и в толковом, в котором описано в конце статьи россыпь. 

В диктанте принимается как правильное современное написание названия института. Оно было закреплено уставом и фиксируется в ряде орфографических руководств, например в академическом «Русском орфографическом словаре» (М., 2012), словаре «Прописная или строчная?» В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой (М., 2011). См. также ресурс «Проверка слова». Написание Пушкинский Дом было принято в источнике диктанта – книге Е. Г. Водолазкина, ведущего научного сотрудника Пушкинского Дома, «Инструмент языка. О людях и словах».

В публикациях романа А. Г. Битова слово дом в названии института пишется, насколько мы можем судить по доступным нам источникам, со строчной буквы. Такое написание, по-видимому, преобладало во время выхода романа и было отражено в словаре-справочнике Д. Э. Розенталя «Прописная или строчная?» (М., 1989). Интересно, что в публикации положения об институте 1907 года выбрана та же графическая форма названия – Пушкинский дом.

Тексты диктантов на нашем портале носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому принятое там решение о написании названия Пушкинский Дом вполне возможно. Однако орфографический комментарий, конечно, нужно дополнить. Спасибо Вам за то, что обратили наше внимание на этот интересный случай.

В профессиональной речи складываются свои традиции употребления тех или иных терминов и терминологических оборотов. Фраза, которую Вы приводите, как очевидно, представляет собой фрагмент юридического текста или претендует на то, чтобы стать таким фрагментом. Лингвист может подтвердить корректность фразы открывается конкурсное производство, но обсуждать допустимость синтаксической связи этой фразы с сочетанием по отношению к юрлицу следует со специалистом-юристом.

В этом предложении у сказуемого прибавила имеются два обстоятельства образа действия (с улыбкой и так), поэтому между ними ставится запятая. 

Запятая необходима для отделения придаточной части, следующей за причастием определяющие.

Ответ на вопрос № 307220 дополнен.