Предлагаем почитать о частях речи в учебнике Е. И. Литневской.
Фраза некорректна. Предлагаем варианты: поиск программ, инструмент для поиска программ.
Форма зависит от контекста. Например, верно: Вашему вниманию предлагаем новый проект.
Предлагаем воспользоваться толково-словообразовательным словарем в окне «Искать на Грамоте».
Предлагаем воспользоваться словарем антонимов в окне «Искать на Грамоте».
Предлагаем воспользоваться толково-словообразовательным словарем в окне «Искать на Грамоте».
Предлагаем воспользоваться нашими электронными словарями (набрать слово в окне «Проверка слова»).
Предлагаем проверять написание слов в нашем электронном орфографическом словаре (набрать бе*ценный).
Сочетание неудачно. Предлагаем такой вариант: спустя пять лет после рассмотрения спора.