Обстоятельство некогда не требует обособления. Для постановки запятой должны быть основания; если их нет, то нет и знака. Например, обособляются вводные слова, но слово некогда не является вводным.
Верно: Одним из первых космонавтов, полетевших в космос, был...
Верно: он оказался не готов.
Да, склоняется. Склонение фамилий, оканчивающихся на гласные, не зависит от пола носителя фамилии.
Корректно написание без кавычек, но кавычки допустимы, если пишущий хочет обратить внимание на необычное значение этих слов.
Лучше: четырехзвездочный, пятизвездочный отель.
Название университета склоняется: в Карловом университете.
После русских приставок, кончающихся на согласный (кроме приставок сверх- и меж-), пишется ы.
В данном случае в приставке с- нет необходимости, лучше использовать глагол интегрироваться (он может отвечать и на вопрос "что делать?", и на вопрос "что сделать?").
Корректно: добраться по канатной дороге.
Все предложение построено некорректно: неправильно использован деепричастный оборот (из фразы следует, что "мечты должны листать страницы дней", а это не имеет смысла). Предложение необходимо переформулировать.
