Правильно: под подпись или под расписку.
В качестве причастия, образованного от глагола обстрелять, - верно.
Возможны оба варианта, поскольку оба слова (подпись и подписание) обозначают процесс по глаголу подписывать.
Кавычки не требуются.
Нужно поставить пробел между инициалами, а также пробел между инициалами и фамилией.
В подписи к иллюстрации точка обычно не ставится. Точка нужна лишь в том случае, если подпись представляет собой цитату - завершенное повествовательное предложение.
Здесь действуют разные правила. Люблю, когда верят – запятая ставится по общему правилу (между главным и придаточным в сложноподчиненном предложении). Но: нашли о чем говорить. Запятая в подобного рода конструкциях, состоящих из глагола быть, найти, остаться, вопросительно-относительного местоимения или наречия (кто, что, где, куда и др.) и неопределенной формы другого глагола, не ставится, ср.: будет о чем поговорить, есть на что посмотреть, есть к чему стремиться, не нашла что сказать, осталось на что жить и т. д.
