Такая рекомендация не зафиксирована в ГОСТах и справочниках. Здесь, на наш взгляд, действует простая логика: после первой части обозначения периода слово ве́ка не произносится.

За глаголом остаться довольно часто следует глагол несовершенного вида. Вот несколько примеров.

Иван Иванович и я остались ждать в парке, а Клавдия Тихоновна отправилась искать Николая Владимировича, чтобы узнать о возможности устройства нашей судьбы. Д. Гранин, «Зубр». Сергей хотел сразу же уехать, но Павел Алексеевич попросил его остаться ночевать. Л. Улицкая, «Казус Кукоцкого». Старик помнил, что вроде бы все инструменты он продал в тяжелые времена ― но, видать, самые мелкие и тонкие остались ждать своего часа в углу за веником. Л. Петрушевская, «Маленькая волшебница».

Предложение Он всегда останется помочь построено корректно. Сочетание останется помогать также возможно, но не в данном предложении.

Конструкции типа машина продается, квартира сдается, веревка рвется, тема обсуждается и т. п. совершенно нормальны. Здесь мы имеем дело с категорией залога, выражающей разные отношения между субъектом, действием и объектом. В конструкции актива (Все сотрудники отдела обсуждают тему) глагольный признак представлен как исходящий от его носителя; в конструкции пассива (Тема обсуждается всеми сотрудниками отдела) – как направленный на него.

Академическая «Русская грамматика» (М., 1980) указывает: «В активе в роли носителя глагольного признака выступает семантический субъект, а в пассиве — семантический объект. Тем самым одно и то же соотношение между субъектом, действием и объектом представлено в активной и пассивной конструкции по-разному: со стороны субъекта, осуществляющего действие, или со стороны объекта, подвергающегося действию или испытывающего действие (состояние)».

Правильно написание со строчной буквы: Оборона польской почты.

Правила таковы. В официальных составных названиях органов власти, учреждений, организаций и т. п. с прописной буквы пишется первое слово названия и входящие в состав названия имена собственные. Названия учреждений, организаций, не являющиеся собственными именами, пишутся со строчной буквы. Написание с прописной буквы Польская почта означало бы, что речь идет о самой компании, объединяющей в себя все филиалы и объекты почтовой связи на территории всей страны (ср.: Почта России). Правильно поэтому: отделение Польской почты в Гданьске было открыто... Но поскольку в сочетании оборона польской почты имеется в виду не компания, а лишь одно из отделений почтовой связи, верно со строчной. Ср. также: Сбербанк (в значении: Сберегательный банк Российской Федерации), но: сбербанк (обиходное название местного отделения Сбербанка).

Правильно: ...в документе... утвержденном...

Все верно.

В большинстве прилагательных с суффиксом -ск- согласная Р перед суффиксом твердая, поэтому Ь в них не пишется: егерский, рыцарский. В ноябрьский (сентябрьский, октябрьский) согласная Р перед суффиксом мягкая, поэтому корректно писать Ь.

Это орфографическая запоминалка, для различения на письме слов бАгровый и бОрдовый.