Корректно: орден Мужества.
Запятая не нужна, потому что вводное слово надеюсь относится к обеим частям сложносочиненного предложения.
Фразу нужно перестроить. Она содержит грамматическую ошибку – неправильное употребление деепричастного оборота. Возможный вариант: нужно проверять, не отходя от донора.
В разговорной речи такое сочетание возможно.
Ошибок нет.
Если имеется в виду, что регламент утвержден приказом, то корректно: ...установленные Административным регламентом, утвержденным Приказом... Но в целом предложение лучше перестроить, например: ...регламентом, который был утвержден Приказом...
В непринужденной речи уместен вариант доктор сказала. В официальных текстах следует использовать форму мужского рода. Подробнее см. в "Письмовнике".
Двоеточие не ставится.
Принято написание без кавычек.
Такое употребление корректно.
