Нет, в этом значении должно быть употреблено слово подпись.
Правильно: ознакомить(ся) с документом под подпись или под расписку.
Подписи под рисунками, как и заголовки, пишутся с прописной буквы.
Подписи к репродукциям картин и к фотографиям не заключают в кавычки.
В подписи к письму после слов "с уважением" традиционно ставится запятая.
Обычно в конце подписи (к иллюстрации и пр.) точку не ставят.
Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Интересное перечисление в вопросе :)
Правила таковы. С прописной буквы пишутся названия высших государственных должностей и титулов (Президент Российской Федерации, Председатель Правительства Российской Федерации и т. п.) в текстах официальных документов, например: Указ Президента Российской Федерации Д. А. Медведева. С прописной буквы пишутся и исторические названия высших государственных должностей при воспроизведении официального употребления: Председатель Президиума Верховного Совета СССР. Вне официального употребления (например, в тексте газетной статьи) названия высших государственных должностей пишутся со строчной буквы, например: президент России подписал указ.
О написании Бог / бог см. ответ на вопрос № 248385.
Спасибо, что указали на ошибку в ответе. Конечно, в подписи сначала указываются инициалы, затем фамилия.