Запятая не требуется: Директору Губаревской школы-интерната Ивановой Ирине Ивановне.

Слово тукдам еще не зафиксировано нормативными словарями, говорить о правильном ударении преждевременно.

Это ошибка в управлении при однородных членах предложения. При двух или нескольких управляющих словах (поддержать и помочь) общее зависимое слово допустимо, когда каждое из управляющих слов требует того же падежа и предлога.

Нет, такое употребление не соответствует нормам современного литературного языка.

Объединение в однородном ряду логически несовместимых понятий чаще всего называют си́ллепсисом (си́ллепсом). Такое синтаксическое построение может быть как ошибкой, так намеренным стилистическим приемом, преследующим те или иные (часто комические) цели. См., например: Культура русской речи: энциклопедический словарь-справочник / Под ред. Л. Ю. Иванова, А. П. Сковородникова, Е. Н. Ширяева и др. М., 2003. С. 614–615.

Так говорят о том, кто слезлив, часто и беспричинно плачет.

Слова пишутся со строчной буквы.

Слово кстати в этом предложении действительно является наречием. Сочетание кстати и некстати входит в ряд обстоятельств, зависящих от сказуемого втискивали. Эти обстоятельства представлены как дополнительная информация, добавочные сведения (= «всюду втискивали науку, причем кстати и некстати...»), то есть представляет собой присоединительную конструкцию. Добавим, что, поскольку эта конструкция включена в предложение без союзов, предпочтительно было бы поставить тире: ...мы всюду втискивали науку — кстати и некстати, с умыслом и без умысла, искусно и неискусно. Впрочем, запятая в этих случаях также используется, и она не ошибочна.

В таких предложениях сочетание прежде всего имеет значение «сперва, вначале, в первую очередь», является обстоятельством и не требует обособления.

Если «И я тоже…» — устная речь супруги, то рекомендуется оформить фрагмент следующим образом:

...на надгробии которого по его желанию начертано: «Я сделал для людей всё что мог…»
— И я тоже… — вторит ему верная супруга.