В приведенном примере правильно со строчной. С прописной корректно как первое слово в официальных названиях: Государственный исторический музей, Государственный реестр РФ. В остальных случаях, как правило, написание со строчной.
Правильно: российский (принятый на территории России).
Кавычки будут уместны в этом случае.