Если Вы привели предложение полностью, то нужно поставить тире.
Да, эти названия склоняются. Подробнее см. в «Письмовнике».
Как правило, склоняются при отсутствии родового слова.
Приложения иконописец и кандидат педагогических наук характеризуют человека с разных сторон, а потому неоднородны, не требуют постановки запятой. Заметим, однако, что приведенный порядок приложений не является единственно возможным. Например, в предложении Иконописец Сергей Петров, кандидат педагогических наук, объяснил, чем отличается иконопись от живописи (в этом случае важнее то, что объясняет именно иконописец, а его ученая степень представлена как дополнительная информация).
Притяжательное прилагательное от Жар-птица – жар-птицын. Правильно: жар-птицыно перо.
Правильно: Он записывал все, что ни подвернется под перо.
