Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
Литературная норма требует склонять название в сочетании с родовым словом: в селе Родном, у села Родного. Но в речи официальной, канцелярской географические названия в функции приложения чаще остаются несклоняемыми.
Кавычки в этом случае не требуются.
Фамилию Вера Майорга нужно склонять. Родительный падеж: Веры Майогры Любови Александровны.
Название Экажево без родового слова должно склоняться, так как оно образовано по русской модели с помощью суффикса -ов(о) и связано с именем Экаж и фамилией Экажев (ср. Иваново, Павлово). Однако топонимы на -ово в живой речи обнаруживают тенденцию к утрате склонения. Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Азбучные истины».
Название праздника День города пишется с большой буквы, такова рекомендация словарей и справочников. По аналогии также уместно писать с большой буквы и День села (праздник).
Правильно: села Каменнозерского. Географические названия в сочетании с родовым словом обычно склоняются, если род названия и род термина совпадают.
Правильно: Работник Вера Иванова, уволенная вчера. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Да, название склоняется.
Согласно морфемному словарю, у этих слов разные корни: вер- и верн-.
