Запятая перед если ставится, чтобы выделить придаточное предложение.
См. в "Справочнике по фразеологии" на этой странице.
Корректно: забыть о головном уборе.
Написание зависит от смысла. Если подчеркивается отрицание, следует писать раздельно. Если утверждается отрицательный признак, следует писать слитно. Выбор делает автор текста.
В этом бессоюзном сложном предложении нужно поставить двоеточие для выражения изъяснительных отношений (вторая часть отвечает на вопрос надежда на что?): Они, дожив до глубокой старости, засыпали с надеждой: в их жизни будет еще один светлый день.
Эти формы образованы от глаголов совершенного (забыть) и несовершенного (забывать) вида. См. раздел Вид как морфологический признак глагола в учебнике Е. И. Литневской.
Правильно раздельное написание. Такую рекомендацию дает академический орфографический словарь.
Перед лишь ставится запятая.
Единственно верный вариант этой формы: засыпан.