Запятая не нужна: Живу читая! Одиночное деепричастие не обособляется, если приближается по значению к обстоятельству образа действия (живу как?)
Возможны оба варианта, но они различаются по значению. На квартире говорят, когда имеют в виду съемное или временное жилье, например: Жил у тетки на квартире.
Да, это грамотное выражение, его можно использовать (в том числе в СМИ).
Грамматически корректны оба варианта.
Да, можно и нужно.
См. ответ на вопрос № 293687.
Правилен первый вариант. Название города Хива освоено и поэтому в сочетании со словом город склоняется. Ср.: Так наконец мы проникли настолько внутрь города Хивы, что оказались в самой Хиве, той, что является ее красой и славой, той, что является Хивой для всех нехивинцев… (А. Битов. Обоснованная ревность); Устроив Ханом в комнате, Чагатаев ушел наружу и до вечера ходил по городу Хиве... (А. Платонов. Джан).
