Как официальное название государственного органа: Совет депутатов.
Корректно с тире.
Для постановки запятой после слова проблему нет оснований.
Запятая не требуется.
Возможны оба варианта. В документах уместно написание с прописной буквы для выделения этого сочетания как наименования. В других сферах предпочтительно его писать со строчной как родовое обозначение.
Оба варианта возможны.