Предлог из антонимичен предлогу в, а предлог с — предлогу на. Правильно: на всероссийские соревнования, поэтому: со всероссийских соревнований.
Правильно: вода течет из сливного бачка.
Корректно раздельное написание: двигатели со встречно движущимися поршнями.
Корректно: российское Черноморье. Слово Черноморье пишется с прописной по правилу: с прописной буквы пишутся однословные производные (суффиксальные и приставочно-суффиксальные), преимущественно неофициальные, названия территорий, областей, местностей. Прилагательное российское не является частью наименования, поэтому пишется со строчной.
Сочетание северодвинская роспись пишется строчными.
Со взбитыми сливками — именно этот вариант удобен при произнесении и соответствует словарной рекомендации для случаев, когда предлог оказывается перед скоплением согласных звуков.
На месте пропущенного сказуемого уместно поставить тире: От одного слова — да навек ссора.
