Со строчной буквы.
Прилагательное божественный пишется с большой буквы только в ограниченном числе сочетаний (например, Божественная литургия), когда это слово соотносится с существительным Божество (с большой буквы). Слово божественность также нужно писать с большой буквы лишь в весьма ограниченном количестве случаев (в специальном религиозном контексте).
Неверно. У слова прописной нет значения 'написанный от руки'.
Правильно со строчной: госсекретарь.
При обращении к одному человеку Вы пишется с большой буквы только в текстах определенных жанров (это личные письма и официальные документы) в тех случаях, когда пишущий хочет подчеркнуть уважительное отношение к адресату. Такое написание не является строго обязательным, ведь уже само обращение на вы – признак уважительного отношения к человеку.
Да, правильно с прописной: Левобережная Украина.
С прописной буквы пишется только первое слово названия: Делегация посетила Сунтарский политехнический лицей.
Возможны оба варианта. В документах уместно написание с прописной буквы для выделения этого сочетания как наименования. В других сферах предпочтительно его писать со строчной как родовое обозначение.
Запятую лучше поставить.
Словарной фиксации нет. Корректно слитное написание. Кавычки не требуются.
