Да, фамилия склоняется: визит Барака Обамы, встреча с Бараком Обамой.
Здесь сравнительный оборот имеет значение образа действия. Запятая не ставится.
Слово "семьёй" в данном предложении является обстоятельством образа действия.
В этом случае деепричастие употребляется в функции обстоятельства образа действия: сказал (как?) заикаясь.
Запятые не нужны. Деепричастие здесь употребляется в значении обстоятельства образа действия (ср.: без спешки).
Запятая не требуется. Деепричастие имеет значение обстоятельства образа действия (лечись как?) и не обособляется.
Корректно без запятой, т. к. здесь деепричастие выполняет функцию обстоятельства образа действия (смотрел как?).
Деепричастия не обособляются, так как непосредственно примыкают к глаголам и имеют значение образа действия.
Запятая не нужна: сравнительный оборот здесь играет роль обстоятельства образа действия (сравним: звучит бредово).
Вы правы, обстоятельства образа действия как завороженная и не отрываясь однородны, и запятая нужна.
