Фамилия Дядя склоняется. Склоняемость-несклоняемость фамилий, пишущихся с буквой я на конце, зависит только от места ударения и происхождения фамилии. Несклоняемы фамилии французского происхождения с ударением на конце: Золя, Труайя. Все прочие фамилии на я склоняемы; таковы Головня, Зозуля, Сырокомля, Гамалея, Гойя, Шенгелая, Данелия, Берия.

См. https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/pismovnik/kak-sklonyat-familii-trudnye-sluchai

Русская графика не располагает специальными средствами для обозначения этого специфического звука - "а" на вдохе. Вопрос о том, что было "изначально" - междометие на вдохе или на выдохе, - к сожалению, не имеет надежного решения: мы не можем установить, как именно наши предки произносили это слово. 

Если авторам предварительно было направлено требование, то допустим первый вариант. Если некие лица направили авторам обращение, то в этом случае говорить об удовлетворении не вполне корректно. Возможно, в обращении содержатся те или иные просьбы, а следовательно, именно их необходимо иметь в виду при изложении отсутствующих оснований.

Во втором предложении можно поставить и тире, и запятую. Тире - более сильный интонационный знак.

См. в «Горячих вопросах».

Корректная пунктуация: Решение посвятить себя джазу или подвигнуть на это ребенка должно быть основано на понимании особенностей направления.

В целом мы рекомендуем перестроить предложение так, чтобы читателю было легче его воспринимать. Кроме того, обратите внимание, что подвигнуть — слово высокого стиля. Возможно, его следует заменить на стилистически нейтральный синоним.

Поскольку названия кораблей — условные наименования, наподобие названий литературных, музыкальных и т. д. произведений, в них  используются кавычки всегда, независимо от наличия или отсутствия родового слова: «Ниагара» и «Доблестный» отправились в путь (сравним: «Утро в сосновом лесу» было написано в 1889 году).

Запятая нужна: Довольный, я съедаю много. 

Определительные обороты, относящиеся к личному местоимению как в именительном, так и в косвенных падежах, выделяются запятыми , независимо от места расположения: Совершенно убитый, он вынужден прервать визиты и вернуться домой (Нагиб.); Он, трижды молодой, ждал от жизни всего, но этого письма никак не ждал (Шукш.); Мы, привыкшие к беспредельному морскому шуму, были даже подавлены этой тишиной (Пауст.). 

Между этими фактами нет никакого противоречия. Во-первых, в сводах правил правописания приводятся примеры и разговорных слов, т. к. их правописание тоже должно быть кодифицировано. Во-вторых, слова, которые 100 лет назад были стилистически нейтральными, в современном русском языке вполне могут оказаться разговорно-просторечными. И наоборот, варианты, которые сто лет назад считались ошибочными, в наши дни могут быть фактами литературного языка, ведь язык постоянно меняется.

Если константа С ранее не упоминалась в тексте, то необходимо сделать акцент вначале на существовании константы С, а затем на ее характеристиках, а значит, запятая нужна: ...для функции f существует константа C, [причем] такая, что выполняется соотношение... Если константа С ранее в тексте упоминалась, только ее характеристики были другими, то запятая не нужна: ...для функции f существует константа C такая, что выполняется соотношение...