Деепричастный оборот нужно обособить независимо от места расположения по отношению к глаголу (здесь на него «претендуют» два глагола — искать и добиваться, но на пунктуацию это не влияет): Он призывает каждого искать свой путь, не останавливаясь ни перед чем, добиваться поставленных целей, двигаясь все выше и выше.

Верно без обособления: Убедившись, что аудитория разделяет его юмор, он наконец решился выступать сам.

Корректно: Только как я его ни убеждал положить находку на место, он меня не послушал.

Такое употребление (бежать кого-чего) характерно для стихотворной речи XVIII–XIX вв., ср. у А. С. Пушкина: Их горделивые дружины / Бежали северных мечей. Современной норме литературного языка это употребление не соотвествует.

Такое сочетание выглядит совершенно бессмысленным, ибо картошка может быть либо жареной, либо нежареной (сырой), а степень прожарки описывают определения, образованные от приставочных глаголов: непрожаренная, недожаренная, пережаренная.

Есть несколько способов оформления этой фразы, можно использовать буквенное наращение при порядковом числительном: Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс 1 дана; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс 1-го дана; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс, 1 дан; Он готовится к квалификационной сдаче на черный пояс (1 дан). Римские цифры при обозначении данов использовать не принято.

В словаре С. А. Кузнецова только один том :) Спасибо!

Правильно: что ни говори; двух-трехлетний (но: 2–3-летний), из-за генетики. Что касается последнего вопроса: вовсе не обязательно приводить всю фразу, предлога из-за вполне достаточно, чтобы однозначно сказать: никакого другого окончания, кроме окончания -и, у слова генетика в этом сочетании быть не может.

Выбор падежа связан с порядком слов: прогулял первые три урока; прогулял три первых урока.

Словари лучше использовать в соответствии с их "специализацией". Например, в том, что касается правописания, рекомендации толкового словаря имеют меньшую силу, чем орфографического.

Кроме того, полезно почитать о принципах составления конкретного словаря. Так, словарь "Русское словесное ударение" М. В. Зарвы ставит целью дать единственный вариант ударения, и его рекомендации довольно строги (подробнее об этом написано здесь). Орфографический словарь РАН в этом смысле более демократичен: в нем указаны в том числе варианты, характерные для непринужденной речи (при этом дикторам радио и телевидения в работе эти варианты лучше не употреблять).

Поэтому, если вы настроены следовать самым строгим нормам ударения, ориентируйтесь на "Русское словесное ударение", но если в непринужденной речи вы используете другие варианты из орфографического словаря, это тоже не будет ошибкой.

Также о словарях см. вопросы 292114 и 283908.