Написание надо запомнить. Исторически тре- здесь — это церковнославянская усилительная приставка (восходящая к числительному) трь…
Вот что пишет о ней «Объяснительный русский орфографический словарь-справочник»:
«Данная приставка выделяется, напр., в словах: треволнения, треволненный, трезвон (букв. «звон во все колокола»), треклятый (букв. «многажды клятый»), тресветлый, тресвятой (Тресвятая Богородица); трегубый, трезвучие, трезвучный, трезубец, тренога, треножник, треугольник, треух. Первоначально приставка прилагательных и превосходной степени прилагательных, исторически усилительное значение приставки тре- в некоторых словах сблизилось со значением числительного три (трезвучие – аккорд из трех звуков, трезубец – с тремя зубцами)».
Правописание приставок (как и любых других морфем) проверяется под ударением. Скажем, правописание приставки под- можно проверить словами, в которых приставка ударна: подкуп, подпол и т. д.
Да, запятую после слова проверить необходимо поставить.
Верно: медосмотр будет проходить в первом корпусе школы.
Поблагодарить можно обоими словами. И не только ими.
См. ответ № 204392.
Об устаревших словах читайте в учебнике Е. И. Литневской.
Для постановки двоеточия в предложении нет оснований.
